Введение в колчанные многообразия.
Цель этого курса -- ввести один из самых важных
объектов в геометрической теории представлений -- колчанные многообразия в смысле Накаджимы,
привести примеры и объяснить приложения.
Курс засчитывается в НМУ. К курсу будут задачи, см. ниже.
Предварительная программа.
1) Симплектическая геометрия: Симплектические многообразия, определение и примеры. Гамильтоновы
векторные поля и скобка Пуассона. Симплектические действия групп Ли и отображения моментов.
Гамильтонова редукция. Базовая ссылка.
2) Алгебраическая геометрия и теория инвариантов: Напоминание об аффинных и проективных многообразиях,
и морфизмах между ними. Алгебраические группы. Категорный фактор. GIT фактор. Основная теорема
теории инвариантов полной линейной группы. Критерий Гильберта-Мамфорда для замкнутости и стабильности орбит.
3) Колчанные многообразия Накаджимы: Колчаны и их представления. Конструкция многообразий Накаджимы.
Примеры: кокасательные расслоения многообразий флагов и замыкания
классов сопряженности матриц. Клейновы особенности и их минимальные разрешения. Схема Гильберта точек на плоскости.
4*) Важность колчанных многообразий: Колчанные многообразия как симплектические разрешения. Алгебры
Каца-Муди и конструкция Накаджимы их представлений.
Пререквизиты: базовые вещи о C^\infty многообразиях, касательных расслоениях, векторных полях и т.п.
Базовые вещи о группах Ли. Базовые знания об алгебраической геометрии.
Задачи:
Листок 1 (обновлено 14/5).
Листок 2.
Листок 3.
Видео находится
здесь.
Расписание:
Первые три лекции будут посвящены симплектической геометрии.
Лекция 1, Вт. 5 мая, 19.00 мск: Симплектическая геометрия: Симплектические многообразия, определение и примеры. Гамильтоновы
векторные поля и скобка Пуассона. Мотивация из гамильтоновой механики. Записки.
Лекция 2, Ср. 6 мая, 17.00 мск: Действия групп Ли. Симплектические и гамильтоновы действия,
отображения моментов. Записки.
Лекция 3, Чт. 7 мая, 19.00 мск: Факторы по действиям групп Ли. Гамильтонова редукция.
Краткое напоминание по алгебраической геометрии. Записки.
Лекция 4, Пн. 11 мая, 18.00 мск: Действия алгебраических групп. Факторы в алгебраической
геометрии. Ссылка для первой части (глава 3).
Записки.
Хорошие ссылки по теории инвариантов:
здесь, а также Х. Крафт "Геометрические методы в теории инвариантов".
Лекция 5, Ср. 13 мая, 19.30 мск. Завершение обсуждения категорных факторов. Основная теорема теории
инвариантов для GL_n. Факторы для свободных действий на гладких многообразиях. Обзор Proj.
Записки.
Лекция 6, Чт. 14 мая, 17.00 мск. GIT-факторы и полустабильные точки. Теорема Гильберта-Мамфорда
о выходе на границу с помощью однопараметрической подгруппы. Записки.
Лекция 7, Пн. 18 мая, 18.00 мск: Теорема Гильберта-Мамфорда, продолжение. Факторы vs
гамильтоновы редукции по компактной группе. Если останется время: представления колчанов.
Записки.
Лекция 8, Ср. 20 мая, 19.30 мск: Колчанные многообразия Накаджимы: определение.
Записки.
Лекция 9, Чт. 21 мая, 17.00 мск: Колчанные многообразия, примеры c колчанами дынкиновского типа А.
Записки.
Лекция 10, Пн. 25 мая, 18.00 мск: Еще примеры: колчаны аффинного типа, схемы Гильберта точек на C^2,
клейновы особенности для циклических групп. Записки.
Лекция 11, Ср. 27 мая, 19.30 мск: Клейновы особенности, их минимальные разрешения, соответствие Маккея и колчанные многообразия.
Симплектические разрешения. Записки.
Лекция 12, Чт. 28 мая, 17.00 мск: Простой пример конструкции Накаджимы. Алгебры Каца-Муди и их представления.
Подготовка к конструкции Накаджимы. Записки.
Лекция 13, Пн. 1 июня, 18.00 мск: Конструкция Накаджимы (1994) интегрируемых представлений со старшим весом
для алгебр Каца-Муди. Вариант конструкции и следствия для геометрии колчанных многообразий.
Записки.
Курс завершен!