Введение в колчанные многообразия.

Цель этого курса -- ввести один из самых важных объектов в геометрической теории представлений -- колчанные многообразия в смысле Накаджимы, привести примеры и объяснить приложения.

Курс засчитывается в НМУ. К курсу будут задачи, см. ниже.

Предварительная программа.

  • 1) Симплектическая геометрия: Симплектические многообразия, определение и примеры. Гамильтоновы векторные поля и скобка Пуассона. Симплектические действия групп Ли и отображения моментов. Гамильтонова редукция. Базовая ссылка.
  • 2) Алгебраическая геометрия и теория инвариантов: Напоминание об аффинных и проективных многообразиях, и морфизмах между ними. Алгебраические группы. Категорный фактор. GIT фактор. Основная теорема теории инвариантов полной линейной группы. Критерий Гильберта-Мамфорда для замкнутости и стабильности орбит.
  • 3) Колчанные многообразия Накаджимы: Колчаны и их представления. Конструкция многообразий Накаджимы. Примеры: кокасательные расслоения многообразий флагов и замыкания классов сопряженности матриц. Клейновы особенности и их минимальные разрешения. Схема Гильберта точек на плоскости.
  • 4*) Важность колчанных многообразий: Колчанные многообразия как симплектические разрешения. Алгебры Каца-Муди и конструкция Накаджимы их представлений.

    Пререквизиты: базовые вещи о C^\infty многообразиях, касательных расслоениях, векторных полях и т.п. Базовые вещи о группах Ли. Базовые знания об алгебраической геометрии.

    Задачи:

    Листок 1 (обновлено 14/5).

    Листок 2.

    Листок 3.

    Видео находится здесь.

    Расписание:

    Первые три лекции будут посвящены симплектической геометрии.

  • Лекция 1, Вт. 5 мая, 19.00 мск: Симплектическая геометрия: Симплектические многообразия, определение и примеры. Гамильтоновы векторные поля и скобка Пуассона. Мотивация из гамильтоновой механики. Записки.
  • Лекция 2, Ср. 6 мая, 17.00 мск: Действия групп Ли. Симплектические и гамильтоновы действия, отображения моментов. Записки.
  • Лекция 3, Чт. 7 мая, 19.00 мск: Факторы по действиям групп Ли. Гамильтонова редукция. Краткое напоминание по алгебраической геометрии. Записки.
  • Лекция 4, Пн. 11 мая, 18.00 мск: Действия алгебраических групп. Факторы в алгебраической геометрии. Ссылка для первой части (глава 3). Записки.

    Хорошие ссылки по теории инвариантов: здесь, а также Х. Крафт "Геометрические методы в теории инвариантов".

  • Лекция 5, Ср. 13 мая, 19.30 мск. Завершение обсуждения категорных факторов. Основная теорема теории инвариантов для GL_n. Факторы для свободных действий на гладких многообразиях. Обзор Proj. Записки.
  • Лекция 6, Чт. 14 мая, 17.00 мск. GIT-факторы и полустабильные точки. Теорема Гильберта-Мамфорда о выходе на границу с помощью однопараметрической подгруппы. Записки.
  • Лекция 7, Пн. 18 мая, 18.00 мск: Теорема Гильберта-Мамфорда, продолжение. Факторы vs гамильтоновы редукции по компактной группе. Если останется время: представления колчанов. Записки.
  • Лекция 8, Ср. 20 мая, 19.30 мск: Колчанные многообразия Накаджимы: определение. Записки.
  • Лекция 9, Чт. 21 мая, 17.00 мск: Колчанные многообразия, примеры c колчанами дынкиновского типа А. Записки.
  • Лекция 10, Пн. 25 мая, 18.00 мск: Еще примеры: колчаны аффинного типа, схемы Гильберта точек на C^2, клейновы особенности для циклических групп. Записки.
  • Лекция 11, Ср. 27 мая, 19.30 мск: Клейновы особенности, их минимальные разрешения, соответствие Маккея и колчанные многообразия. Симплектические разрешения. Записки.
  • Лекция 12, Чт. 28 мая, 17.00 мск: Простой пример конструкции Накаджимы. Алгебры Каца-Муди и их представления. Подготовка к конструкции Накаджимы. Записки.
  • Лекция 13, Пн. 1 июня, 18.00 мск: Конструкция Накаджимы (1994) интегрируемых представлений со старшим весом для алгебр Каца-Муди. Вариант конструкции и следствия для геометрии колчанных многообразий. Записки.

    Курс завершен!